Pomóż w opracowaniu witryny, udostępniając artykuł znajomym!
Temat wielokątów znajduje się w szkolnym programie nauczania, ale nie poświęca się mu wystarczającej uwagi. Tymczasem jest to interesujące, a szczególnie dotyczy to zwykłego sześciokąta lub sześciokąta - w końcu wiele naturalnych obiektów ma tę formę. Należą do nich plastry miodu i więcej. Ta forma jest bardzo dobrze stosowana w praktyce.
Definicja i konstrukcja
Sześciokąt regularny jest figurą płaską, która ma sześć boków o jednakowej długości i jednakowych kątach.
Jeśli przypomnimy sobie wzór na sumę kątów wieloboku
180 ° (n-2),
okazuje się, że w tej liczbie wynosi 720 °. Cóż, ponieważ wszystkie kąty figury są równe, łatwo jest obliczyć, że każdy z nich jest równy 120 °.
Narysowanie sześciokąta jest bardzo proste, gdyż wystarczy mu kompasy i linijki.
Instrukcje krok po kroku będą wyglądać następująco:
rysowana jest linia prosta i umieszczana jest na niej kropka;- z tego miejsca jest zbudowany okrąg (jest to jego środek);
- dwa kolejne są zbudowane od przecięcia koła z linią, muszą zbiegać się w środku.
- po tym wszystkie punkty na pierwszym okręgu są połączone szeregowo według segmentów.
Jeśli chcesz, możesz obejść się bez linii, rysując pięć równych okręgów wzdłuż promienia.
Otrzymana w ten sposób liczba będzie regularnym sześciokątem, co można udowodnić poniżej.
Właściwości są proste i interesujące.
Aby zrozumieć właściwości zwykłego sześciokąta, sensowne jest podzielenie go na sześć trójkątów:
Pomoże to w dalszej wizualizacji jego właściwości, z których główne to:
- średnica opisanego okręgu;
- średnica okręgu wpisanego;
- obszar;
- obwód.
Ograniczony krąg i możliwość konstruowania
Możesz opisać okrąg wokół sześciokąta, a ponadto tylko jeden. Ponieważ ta liczba jest poprawna, można to zrobić po prostu: z dwóch sąsiednich rogów przytrzymaj wewnątrz dwusiecznej. Przecinają się w punkcie O i tworzą trójkąt wraz z bokiem między nimi.
Kąty między bokiem sześciokąta a dwusiecznymi będą wynosić 60 °, więc zdecydowanie można powiedzieć, że trójkąt, na przykład AOB, jest równoramienny. A ponieważ trzeci kąt będzie również równy 60 °, jest również równoboczny. Wynika z tego, że segmenty OA i OB są równe, co oznacza, że mogą służyć jako promień okręgu.
Następnie możesz przejść do następnej strony, a także z rogu w punkcie C narysuj dwusieczną. Otrzymasz kolejny trójkąt równoboczny, a bok AB będzie wspólny dla dwóch naraz, a system operacyjny będzie kolejnym promieniem, przez który przechodzi ten sam okrąg. W sumie będzie sześć takich trójkątów i będą one miały wspólny wierzchołek w punkcie O. Okazuje się, że możliwe będzie opisanie okręgu, a jest on tylko jeden, a jego promień jest równy stronie sześciokąta:
R = a .
Dlatego możliwe jest zbudowanie tej figury z kompasem i linijką.
Obszar tego okręgu będzie standardowy:
S = πR²
Koło wpisane
Środek opisanego okręgu zbiega się ze środkiem wpisanego. Aby to sprawdzić, można narysować prostopadłe punkty O do boków sześciokąta. Będą wysokościami trójkątów tworzących sześciokąt. W trójkącie równoramiennym wysokość jest medianą boku, na którym spoczywa. Tak więc wysokość ta jest niczym więcej niż prostopadłą środkową, która jest promieniem okręgu wpisanego.
Wysokość trójkąta równobocznego jest po prostu obliczana:
h² = a²- (a / 2) ² = a²3 / 4, h = a (√3) / 2
A ponieważ R = a r = h, okazuje się, że
r = R (√3) / 2 .
W ten sposób wpisany okrąg przechodzi przez środki boków regularnego sześciokąta.
Jego obszar będzie:
S = 3πa² / 4,
to znaczy trzy czwarte opisanego.
Obwód i obszar
Z obwodu wszystko jest jasne, to jest suma długości boków:
P = 6a lub P = 6R
Ale obszar będzie równy sumie wszystkich sześciu trójkątów, w które można podzielić sześciokąt. Ponieważ powierzchnia trójkąta jest obliczana jako połowa produktu podstawy według wysokości, to:
S = 6 (a / 2) (a (√3) / 2) = 6a² (√3) / 4 = 3a² (√3) / 2 lub
S = 3R² (√3) / 2
Osoby, które chcą obliczyć ten obszar za pomocą promienia okręgu wpisanego, można zrobić w ten sposób:
S = 3 (2r / √3) ² (√3) / 2 = r² (2√3)
Zabawna kompilacja
Trójkąt można wpisać w heks, którego boki będą łączyć wierzchołki przez jeden:
W sumie będzie ich dwóch, a ich nałożenie na siebie da gwiazdę Dawida. Każdy z tych trójkątów jest równoboczny. Nie jest to trudne do zweryfikowania. Jeśli spojrzysz na bok AU, to należy on do dwóch trójkątów naraz - TY i AES. Jeśli w pierwszym z nich AB = BC, a kąt między nimi wynosi 120 °, to każda z pozostałych będzie miała 30 °. Stąd możesz wyciągać logiczne wnioski:
- Wysokość ABC od wierzchołka B będzie równa połowie boku sześciokąta, ponieważ sin30 ° = 1/2. Tym, którzy chcą być o tym przekonani, można zalecić ponowne obliczenie zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa, pasuje tu doskonale.
- Strona AC będzie równa dwóm promieniom wpisanego koła, które ponownie jest obliczane przez to samo twierdzenie. Oznacza to, że AC = 2 (a (√3) / 2) = a (√3).
- Trójkąty ABC, ETS i AEF są równe po obu stronach i kąt między nimi, a to oznacza równość boków AC, CE i EA.
Przecinając się ze sobą, trójkąty tworzą nowy heks, a także są poprawne. Jest to udowodnione po prostu:
Kąt ABF jest równy kątowi YOU. Tak więc powstały trójkąt z podstawą AB i bezimiennym wierzchołkiem naprzeciw niego jest równoramienny.- Wszystkie te same trójkąty, których podstawą jest bok sześciokąta, są równe po bokach i na rogach sąsiadujących z nimi.
- Trójkąty na wierzchołkach sześciokąta są równe i równe, co wynika z poprzedniego akapitu.
- Narożniki nowo utworzonego sześciokąta wynoszą 360-120-60-60 = 120 °.
Tak więc postać spełnia cechy zwykłego sześciokąta - ma sześć równych boków i kątów. Z równości trójkątów na wierzchołkach łatwo jest uzyskać długość boku nowego sześciokąta:
d = a (√3) / 3
Będzie to promień obwodu opisanego wokół niego. Promień wpisanego będzie o połowę mniejszy niż bok dużego sześciokąta, co zostało udowodnione przy rozpatrywaniu trójkąta ABC. Jego wysokość to tylko połowa boku, dlatego druga połowa to promień okręgu wpisanego w mały sześciokąt:
r₂ = a / 2
Obszar nowego sześciokąta można obliczyć w następujący sposób:
S = (3 (√3) / 2) (a (√3) / 3) ² = a (√3) / 2
Okazuje się, że obszar sześciokąta wewnątrz gwiazdy Dawida jest trzy razy mniejszy niż obszar dużego sześcianu, w który wpisana jest gwiazda.
Od teorii do praktyki
Właściwości sześciokąta są bardzo aktywnie wykorzystywane zarówno w przyrodzie, jak iw różnych dziedzinach ludzkiej aktywności. Przede wszystkim dotyczy śrub i nakrętek - czapki pierwszego i drugiego są niczym innym jak zwykłym sześciokątem, jeśli nie uwzględnisz fazowania. Rozmiar kluczy odpowiada średnicy okręgu wpisanego - czyli odległości między przeciwległymi ścianami.
Płytka sześciokątna również znalazła swoje zastosowanie. Jest znacznie mniej rozpowszechniony niż czworokątny, ale wygodniej jest go położyć: w jednym punkcie spotykają się trzy płytki, nie cztery. Kompozycje mogą być bardzo interesujące:
Dostępne są również betonowe płytki chodnikowe.
Częstość występowania sześciokątów w naturze jest po prostu wyjaśniona. W ten sposób najłatwiej jest ciasno dopasować koła i kulki do płaszczyzny, jeśli mają tę samą średnicę. Z tego powodu plastry miodu mają taką formę.